Упростите выражение: $$\left(\frac{4c}{c+1}+1\right):\left(1-\frac{24c^2}{1-c^2}\right) = $$

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{4c}{c+1}+1\right):\left(1-\frac{24c^2}{1-c^2}\right) = $$

1. Приведем выражение в первых скобках к общему знаменателю:

   $$\frac{4c}{c+1} + 1 = \frac{4c}{c+1} + \frac{c+1}{c+1} = \frac{4c + c + 1}{c+1} = \frac{5c + 1}{c+1}$$

2. Приведем выражение во вторых скобках к общему знаменателю:

   $$1 - \frac{24c^2}{1 - c^2} = \frac{1 - c^2}{1 - c^2} - \frac{24c^2}{1 - c^2} = \frac{1 - c^2 - 24c^2}{1 - c^2} = \frac{1 - 25c^2}{1 - c^2}$$

3. Выполним деление, заменив деление умножением на перевернутую дробь:

   $$\frac{5c + 1}{c+1} : \frac{1 - 25c^2}{1 - c^2} = \frac{5c + 1}{c+1} \cdot \frac{1 - c^2}{1 - 25c^2}$$

4. Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов:

   $$1 - c^2 = (1 - c)(1 + c)$$

   Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов:

   $$1 - 25c^2 = (1 - 5c)(1 + 5c)$$

5. Подставим разложения в выражение:

   $$\frac{5c + 1}{c+1} \cdot \frac{(1 - c)(1 + c)}{(1 - 5c)(1 + 5c)}$$

6. Сократим $$(5c + 1)$$ и $$(1 + 5c)$$, $$(c+1)$$ и $$(1+c)$$:

   $$\frac{1}{1} \cdot \frac{(1 - c)}{(1 - 5c)} = \frac{1-c}{1-5c}$$

Ответ: $$\frac{1-c}{1-5c}$$