Упростите выражение (1/a² + 1/b² - 2a-2b/ab) * 1/(a-b) * a²b²/a²-b² и найдите его значение при a = 1,2 и b = 2,24.

Решение:

Сначала упростим выражение:

1. Приведём к общему знаменателю в первой скобке: \[ \left( \frac{b^2 + a^2}{a^2 b^2} - \frac{2a - 2b}{ab} \right) \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{a^2 b^2}{a^2 - b^2} \]
2. Приведём вторую дробь к общему знаменателю \( a^2 b^2 \): \[ \left( \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} - \frac{2b(2a - 2b)}{2a^2 b^2} \right) \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{a^2 b^2}{a^2 - b^2} \]
3. Упростим числитель второй дроби: \( 2b(2a-2b) = 4ab - 4b^2 \).
4. Подставим обратно: \[ \left( \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} - \frac{4ab - 4b^2}{2a^2 b^2} \right) \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{a^2 b^2}{a^2 - b^2} \]
5. Приведём к общему знаменателю \( 2a^2 b^2 \): \[ \left( \frac{2(a^2 + b^2) - (4ab - 4b^2)}{2a^2 b^2} \right) \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{a^2 b^2}{a^2 - b^2} \]
6. Раскроем скобки в числителе: \[ \left( \frac{2a^2 + 2b^2 - 4ab + 4b^2}{2a^2 b^2} \right) \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{a^2 b^2}{a^2 - b^2} \]
7. Сгруппируем члены: \[ \left( \frac{2a^2 - 4ab + 6b^2}{2a^2 b^2} \right) \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{a^2 b^2}{a^2 - b^2} \]
8. Сократим \( a^2 b^2 \): \[ \frac{2a^2 - 4ab + 6b^2}{2} \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{a^2 - b^2} \]
9. Вынесем 2 из числителя: \[ \frac{2(a^2 - 2ab + 3b^2)}{2} \cdot \frac{1}{(a-b)(a+b)} \]
10. Упростим: \[ \frac{a^2 - 2ab + 3b^2}{(a-b)(a+b)} \]

Полученное выражение в упрощённом виде: \( \frac{a^2 - 2ab + 3b^2}{a^2 - b^2} \).

Теперь подставим значения \( a = 1,2 \) и \( b = 2,24 \):

\( a - b = 1,2 - 2,24 = -1,04 \)

\( a + b = 1,2 + 2,24 = 3,44 \)

\( a^2 = (1,2)^2 = 1,44 \)

\( b^2 = (2,24)^2 = 5,0176 \)

\( ab = 1,2 \cdot 2,24 = 2,688 \)

\( a^2 - 2ab + 3b^2 = 1,44 - 2(2,688) + 3(5,0176) = 1,44 - 5,376 + 15,0528 = 11,1168 \)

\( a^2 - b^2 = 1,44 - 5,0176 = -3,5776 \)

\( \text{Значение выражения} = \frac{11,1168}{-3,5776} \approx -3,107 \)

Ответ: \( \frac{a^2 - 2ab + 3b^2}{a^2 - b^2} \), значение при \( a = 1,2 \) и \( b = 2,24 \) приблизительно равно -3,107.