Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Упростите выражение: 1) (a^2+b^2)/(a^2-b^2) - b/(a+b) + b/(b-a) 2) (x+7)/(3x+12) - 2/x + (7x+40)/(3x^2+12x) 3)…Фото задания

Ответ:

1. Решение:

  • Разложим знаменатели на множители:
  • \[ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \]
  • \[ b-a = -(a-b) \]
  • Общий знаменатель: $$(a-b)(a+b)$$.
  • Приведем к общему знаменателю:
  • \[ \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{b}{a+b} + \frac{b}{b-a} = \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{b(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{b}{a-b} = \frac{a^2+b^2 - (ab-b^2) - b(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+b^2 - ab+b^2 - ab-b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)} \]

2. Решение:

  • Разложим знаменатели на множители:
  • \[ 3x+12 = 3(x+4) \]
  • \[ 3x^2+12x = 3x(x+4) \]
  • Общий знаменатель: $$3x(x+4)$$.
  • Приведем к общему знаменателю:
  • \[ \frac{x+7}{3(x+4)} - \frac{2}{x} + \frac{7x+40}{3x(x+4)} = \frac{x(x+7) - 2 \times 3(x+4) + 7x+40}{3x(x+4)} = \frac{x^2+7x - 6x-24 + 7x+40}{3x(x+4)} = \frac{x^2+8x+16}{3x(x+4)} = \frac{(x+4)^2}{3x(x+4)} = \frac{x+4}{3x} \]

3. Решение:

  • Разложим знаменатели на множители:
  • \[ 3a^2+6a+3 = 3(a^2+2a+1) = 3(a+1)^2 \]
  • \[ 2a+2 = 2(a+1) \]
  • Общий знаменатель: $$6(a+1)^2$$.
  • Приведем к общему знаменателю:
  • \[ \frac{a-1}{3(a+1)^2} - \frac{1}{2(a+1)} = \frac{2(a-1) - 3(a+1)}{6(a+1)^2} = \frac{2a-2 - 3a-3}{6(a+1)^2} = \frac{-a-5}{6(a+1)^2} = -\frac{a+5}{6(a+1)^2} \]

4. Решение:

  • Разложим знаменатели на множители:
  • \[ 4y+8 = 4(y+2) \]
  • \[ 4y-8 = 4(y-2) \]
  • \[ y^2-4 = (y-2)(y+2) \]
  • Общий знаменатель: $$4(y-2)(y+2)$$.
  • Приведем к общему знаменателю:
  • \[ \frac{y+6}{4(y+2)} - \frac{y+2}{4(y-2)} + \frac{5}{(y-2)(y+2)} = \frac{(y+6)(y-2) - (y+2)^2 + 5 \times 4}{4(y-2)(y+2)} = \frac{y^2+4y-12 - (y^2+4y+4) + 20}{4(y^2-4)} = \frac{y^2+4y-12 - y^2-4y-4 + 20}{4(y^2-4)} = \frac{-16+20}{4(y^2-4)} = \frac{4}{4(y^2-4)} = \frac{1}{y^2-4} \]

5. Решение:

  • Разложим знаменатели на множители:
  • \[ a^3-27 = (a-3)(a^2+3a+9) \]
  • Общий знаменатель: $$(a-3)(a^2+3a+9)$$.
  • Приведем к общему знаменателю:
  • \[ \frac{a+3}{a^2+3a+9} - \frac{1}{a-3} + \frac{a^3+3a-9}{a^3-27} = \frac{(a+3)(a-3) - 1(a^2+3a+9) + a^3+3a-9}{(a-3)(a^2+3a+9)} = \frac{a^2-9 - a^2-3a-9 + a^3+3a-9}{a^3-27} = \frac{a^3-27}{a^3-27} = 1 \]