Упростите выражение: 1) \(\frac{a+12}{4a+16}-\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}\); 2) \(\frac{8a^3+36a}{a^3+27}-\frac{4a^2}{a^2-3a+9}\).

ОДЗ: \(a\ne -4,4\).

Разложим знаменатели: \(4a+16=4(a+4)\), \(4a-16=4(a-4)\), \(a^2-16=(a-4)(a+4)\).

\[\frac{a+12}{4(a+4)}-\frac{a+4}{4(a-4)}+\frac{19}{(a-4)(a+4)}=\frac{(a+12)(a-4)-(a+4)^2+76}{4(a-4)(a+4)}.\]

\[(a+12)(a-4)-(a+4)^2+76=a^2+8a-48-a^2-8a-16+76=12.\]

\[\frac{12}{4(a-4)(a+4)}=\frac{3}{a^2-16}.\]

Ответ: \(\frac{3}{a^2-16}\).

ОДЗ: \(a\ne -3\).

Используем формулу \(a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)\):

\[\frac{8a^3+36a}{(a+3)(a^2-3a+9)}-\frac{4a^2(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}.\]

\[\frac{8a^3+36a-4a^2(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{8a^3+36a-4a^3-12a^2}{a^3+27}=\frac{4a^3-12a^2+36a}{a^3+27}.\]

\[\frac{4a(a^2-3a+9)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{4a}{a+3}.\]

Ответ: \(\frac{4a}{a+3}\).