Упростите выражение $$1 + \frac{\sin^4 x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x}$$

Решение:

1. Запишем исходное выражение: \( 1 + \frac{\sin^4 x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x} \)
2. Вынесем общий множитель \( \sin^2 x \) из числителя дроби: \( 1 + \frac{\sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x)}{\cos^2 x} \)
3. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Получаем: \( 1 + \frac{\sin^2 x \cdot 1}{\cos^2 x} \)
4. Упростим выражение: \( 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \)
5. Заменим \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \) на \( \tan^2 x \): \( 1 + \tan^2 x \)
6. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \) или \( \sec^2 x \).

Ответ: \( \frac{1}{\cos^2 x} \) (или \( \sec^2 x \)).