Упростите выражение: 1) $\left(x+\frac{x}{y}\right):\left(x-\frac{x}{y}\right)$; 2) $\left(\frac{a}{b}+\frac{a+b}{a-b}\right)\cdot\frac{ab^2}{a^2+b^2}$; 3) $\left(\frac{m}{m-1}-1\right):\frac{m}{mn-n}$; 4) $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\cdot\frac{4ab}{a-b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение: 1) $\left(x+\frac{x}{y}\right):\left(x-\frac{x}{y}\right)$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Вынесем общий множитель и запишем деление дробью:
\[\left(x+\frac{x}{y}\right):\left(x-\frac{x}{y}\right)=\frac{x\left(1+\frac1y\right)}{x\left(1-\frac1y\right)}=\frac{y+1}{y-1}.\]
ОДЗ: $y\ne0$, $x\ne0$, $y\ne1$.
Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:
\[\left(\frac{a}{b}+\frac{a+b}{a-b}\right)\cdot\frac{ab^2}{a^2+b^2}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{b(a-b)}\cdot\frac{ab^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{b(a-b)}\cdot\frac{ab^2}{a^2+b^2}=\frac{ab}{a-b}.\]
ОДЗ: $b\ne0$, $a\ne b$.
Упростим выражение в скобках и разложим знаменатель второй дроби на множители:
\[\left(\frac{m}{m-1}-1\right):\frac{m}{mn-n}=\frac{1}{m-1}:\frac{m}{n(m-1)}=\frac{1}{m-1}\cdot\frac{n(m-1)}{m}=\frac{n}{m}.\]
ОДЗ: $m\ne1$, $m\ne0$, $n\ne0$.
Разложим разность квадратов:
\[\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\cdot\frac{4ab}{a-b}=\frac{a^2-b^2}{ab}\cdot\frac{4ab}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot\frac{4ab}{a-b}=4(a+b).\]
ОДЗ: $a\ne0$, $b\ne0$, $a\ne b$.

Упростите выражение: 1) \(\left(x+\frac{x}{y}\right):\left(x-\frac{x}{y}\right)\); 2) \(\left(\frac{a}{b}+\frac{a+b}{a-b}\right)\cdot\frac{ab^2}{a^2+b^2}\); 3) \(\left(\frac{m}{m-1}-1\right):\frac{m}{mn-n}\); 4) \(\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\cdot\frac{4ab}{a-b}\).