Упростите выражение: 29.48. а) \(\frac{x+12}{x^3-9x}:\left(\frac{x-3}{2x^2+5x-3}-\frac{9}{9-x^2}\right)\)

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
• \(x^3-9x = x(x^2-9) = x(x-3)(x+3)\)
• \(2x^2+5x-3\). Корни уравнения \(2x^2+5x-3=0\): \(D = 5^2 - 4(2)(-3) = 25+24 = 49\), \(x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4}\), \(x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \(x_2 = -3\). Следовательно, \(2x^2+5x-3 = 2\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+3) = (2x-1)(x+3)\).
• \(9-x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3)\).
2. Подставим разложенные знаменатели в выражение:
\(\frac{x+12}{x(x-3)(x+3)}:\left(\frac{x-3}{(2x-1)(x+3)}-\frac{9}{-(x-3)(x+3)}\right)\)

3. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю \((2x-1)(x-3)(x+3)\):
\(\frac{x-3}{(2x-1)(x+3)}-\frac{9}{-(x-3)(x+3)} = \frac{(x-3)(x-3)}{(2x-1)(x+3)(x-3)} + \frac{9(2x-1)}{(x-3)(x+3)(2x-1)} = \frac{x^2-6x+9 + 18x-9}{(2x-1)(x-3)(x+3)} = \frac{x^2+12x}{(2x-1)(x-3)(x+3)} = \frac{x(x+12)}{(2x-1)(x-3)(x+3)}\)
4. Теперь выполним деление:
\(\frac{x+12}{x(x-3)(x+3)}:\frac{x(x+12)}{(2x-1)(x-3)(x+3)} = \frac{x+12}{x(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(2x-1)(x-3)(x+3)}{x(x+12)}\)
5. Сократим общие множители:
\(\frac{\cancel{x+12}}{\cancel{x}\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}}} \cdot \frac{(2x-1)\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}} {\cancel{x}\cancel{(x+12)}}} = \frac{2x-1}{x^2}\)

Ответ: $$\frac{2x-1}{x^2}$$.