Упростите выражение: 29.48. б) \(\left(\frac{3a-1}{a^2-4}-\frac{9a}{3a^2+5a-2}\right)\cdot\frac{15a^3-60a}{12a+1}\)

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
• \(a^2-4 = (a-2)(a+2)\)
• \(3a^2+5a-2\). Корни уравнения \(3a^2+5a-2=0\): \(D = 5^2 - 4(3)(-2) = 25+24 = 49\), \(a_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{6}\), \(a_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \(a_2 = -2\). Следовательно, \(3a^2+5a-2 = 3\left(a-\frac{1}{3}\right)(a+2) = (3a-1)(a+2)\).
2. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю \((a-2)(a+2)(3a-1)\):
\(\frac{3a-1}{(a-2)(a+2)}-\frac{9a}{(3a-1)(a+2)} = \frac{(3a-1)(3a-1)}{(a-2)(a+2)(3a-1)} - \frac{9a(a-2)}{(a-2)(a+2)(3a-1)} = \frac{9a^2-6a+1 - (9a^2-18a)}{(a-2)(a+2)(3a-1)} = \frac{9a^2-6a+1-9a^2+18a}{(a-2)(a+2)(3a-1)} = \frac{12a+1}{(a-2)(a+2)(3a-1)}\)
3. Разложим числитель второй дроби:
\(15a^3-60a = 15a(a^2-4) = 15a(a-2)(a+2)\)
4. Теперь выполним умножение:
\(\frac{12a+1}{(a-2)(a+2)(3a-1)} \cdot \frac{15a(a-2)(a+2)}{12a+1}\)
5. Сократим общие множители:
\(\frac{\cancel{12a+1}}{\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)}(3a-1)} \cdot \frac{15a\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)}} {\cancel{12a+1}}} = \frac{15a}{3a-1}\)

Ответ: $$\frac{15a}{3a-1}$$.