Упростите выражение: (3c^4)^5 / (d^2c)^3

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:

1. Возведение степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
2. Возведение произведения в степень: \( (ab)^n = a^n b^n \)
3. Деление степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Применим эти свойства к данному выражению:

\[ \frac{(3c^4)^5}{(d^2c)^3} = \frac{3^5 \cdot (c^4)^5}{(d^2)^3 \cdot c^3} \]

Возводим в степень:

\[ = \frac{243 \cdot c^{4 \cdot 5}}{d^{2 \cdot 3} \cdot c^3} = \frac{243 \cdot c^{20}}{d^6 \cdot c^3} \]

Теперь упростим степени с основанием \( c \) используя правило деления степеней:

\[ = 243 \cdot d^{-6} \cdot c^{20-3} = 243 \cdot d^{-6} \cdot c^{17} \]

Перепишем выражение, где степень \( d^{-6} \) будет в знаменателе:

\[ = \frac{243 c^{17}}{d^6} \]

Ответ: \( \frac{243 c^{17}}{d^6} \)