Упростите выражение: (4d^-14 / 3a^-3)^-4 * 256d^6a^19 =

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней.

1. Сначала раскроем скобки, возведя числитель и знаменатель в степень -4: \( \left(\frac{4d^{-14}}{3a^{-3}}\right)^{-4} = \frac{(4d^{-14})^{-4}}{(3a^{-3})^{-4}} = \frac{4^{-4}(d^{-14})^{-4}}{3^{-4}(a^{-3})^{-4}} \)
2. Применим правило возведения степени в степень \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \) и \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \): \( \frac{4^{-4}d^{56}}{3^{-4}a^{12}} = \frac{3^4 a^{12}}{4^4 d^{56}} \)
3. Вычислим значения степеней: \( 3^4 = 81 \) и \( 4^4 = 256 \): \( \frac{81 a^{12}}{256 d^{56}} \)
4. Теперь умножим полученное выражение на вторую часть исходного выражения: \( \frac{81 a^{12}}{256 d^{56}} \cdot 256d^6a^{19} \)
5. Сократим 256 и перемножим степени с одинаковыми основаниями (при умножении степени складываются \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)): \( \frac{81 a^{12} \cdot d^6 \cdot a^{19}}{d^{56}} = \frac{81 a^{12+19} d^6}{d^{56}} = \frac{81 a^{31} d^6}{d^{56}} \)
6. Применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \): \( 81 a^{31} d^{6-56} = 81 a^{31} d^{-50} \)
7. Запишем результат, переведя степень с отрицательным показателем в знаменатель: \( \frac{81 a^{31}}{d^{50}} \)

Ответ: \( \frac{81 a^{31}}{d^{50}} \).