Упростите выражение (4tga + 5ctga) · sin2a - 10cos^2a

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Заменим \( \text{ctg} α \) на \( \frac{1}{\text{tg} α} \) и \( \text{sin} 2α \) на \( 2 \text{sin} α \text{cos} α} \).
2. Выражение примет вид: \( (4 \text{tg} α + \frac{5}{\text{tg} α}) · 2 \text{sin} α \text{cos} α} - 10 \text{cos}^2 α} \).
3. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \( (\frac{4 \text{tg}^2 α + 5}{\text{tg} α}) · 2 \text{sin} α \text{cos} α} - 10 \text{cos}^2 α} \).
4. Заменим \( \text{tg} α \) на \( \frac{\text{sin} α}{\text{cos} α} \): \( (\frac{4 \frac{\text{sin}^2 α}{\text{cos}^2 α} + 5}{\frac{\text{sin} α}{\text{cos} α}}}) · 2 \text{sin} α \text{cos} α} - 10 \text{cos}^2 α} \).
5. Упростим дробь в скобках: \( (\frac{4 \text{sin}^2 α + 5 \text{cos}^2 α}{\text{cos}^2 α}}) · \frac{\text{cos} α}{\text{sin} α} · 2 \text{sin} α \text{cos} α} - 10 \text{cos}^2 α} \).
6. Сократим: \( \frac{4 \text{sin}^2 α + 5 \text{cos}^2 α}{\text{cos}^2 α} · \text{cos} α · 2 \text{cos} α} - 10 \text{cos}^2 α} \).
7. Итого: \( (4 \text{sin}^2 α + 5 \text{cos}^2 α}) · 2 - 10 \text{cos}^2 α} \).
8. Раскроем скобки: \( 8 \text{sin}^2 α + 10 \text{cos}^2 α - 10 \text{cos}^2 α} \).
9. Получим: \( 8 \text{sin}^2 α} \).
10. Используем основное тригонометрическое тождество \( \text{sin}^2 α + \text{cos}^2 α = 1 \) и \( \text{cos} 2α = 1 - 2\text{sin}^2 α} \).
11. Тогда \( \text{sin}^2 α = \frac{1 - \text{cos} 2α}{2} \).
12. Подставляем: \( 8 \frac{1 - \text{cos} 2α}{2} = 4 (1 - \text{cos} 2α) = 4 - 4 \text{cos} 2α} \).

Ответ: \( 4 - 4 \text{cos} 2α} \).