121. Упростите выражение: - 1) (a + 3)(a – 3) – 2a(4 + a); 2) (2a + 1)(2a - 1) + (a – 7)(a + 7); 3) (4x - 3y)(4x + 3y) + (3x + 4y)(4y - 3x); 4) (y - 3)(5 - y) – (4 – y)(y + 4). 122. Решите уравнение: 1) (x - 1)(x + 1) – x(x − 3) = 0; 2) 2x(3 + 8x) – (4x - 3)(4x + 3) = 1,5x; 3) (x – 6)(x + 6) - (2x - 3)(x - 1) = 6 - x2. Разность квадратов двух выражений 123. Разложите на множители: 1) x² - 4; 2) 25 - 9a²; 3) 36m² – 100n²; 4) 0,04p² – 1,69q2; 4 5) x²y²-; 6) a4 – b6; 7) 0,01c² – d8; 8) 0,81y10 – 400z12; 9) -1 + 49a4b8; 11 10) 10m²n² - 125a6b2. 124. Разложите на множители: 1) (3b-5)² - 49; 2) (2x - 3)² - (x + 4)²; 125. Решите уравнение: 1) x² - 64 = 0; 2) 4x² - 25 = 0; 3) а¹ – (a – 7)²; -b+ 4) (a - b + c)² - (a- 3) 9x² + 16 = 0; 4) (2x - 3)² - 36 = 0. 126. Докажите, что при любом натуральном п значе ражения: 1) (5п + 9)2 – 16 делится нацело на 5; 2) (7n + 10)² - (п – 2)2 делится нацело на 8.

121. Упростите выражение:

1) (a + 3)(a – 3) – 2a(4 + a)

Давай упростим это выражение. Сначала раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\] и распределительное свойство умножения:

\[(a + 3)(a - 3) - 2a(4 + a) = (a^2 - 3^2) - (2a \cdot 4 + 2a \cdot a) = a^2 - 9 - 8a - 2a^2\]

Теперь приведем подобные члены:

\[a^2 - 9 - 8a - 2a^2 = a^2 - 2a^2 - 8a - 9 = -a^2 - 8a - 9\]

Ответ: \[-a^2 - 8a - 9\]

2) (2a + 1)(2a - 1) + (a – 7)(a + 7)

Снова используем формулу разности квадратов:

\[(2a + 1)(2a - 1) + (a - 7)(a + 7) = (4a^2 - 1) + (a^2 - 49)\]

Теперь упростим, сложив подобные члены:

\[4a^2 - 1 + a^2 - 49 = 5a^2 - 50\]

Ответ: \[5a^2 - 50\]

3) (4x - 3y)(4x + 3y) + (3x + 4y)(4y - 3x)

Используем формулу разности квадратов для первой части и раскроем скобки во второй части:

\[(4x - 3y)(4x + 3y) + (3x + 4y)(4y - 3x) = (16x^2 - 9y^2) + (12xy - 9x^2 + 16y^2 - 12xy)\]

Упростим, объединяя подобные члены:

\[16x^2 - 9y^2 + 12xy - 9x^2 + 16y^2 - 12xy = 16x^2 - 9x^2 - 9y^2 + 16y^2 + 12xy - 12xy = 7x^2 + 7y^2\]

Ответ: \[7x^2 + 7y^2\]

4) (y - 3)(5 - y) – (4 – y)(y + 4)

Раскроем скобки в обеих частях:

\[(y - 3)(5 - y) - (4 - y)(y + 4) = (5y - y^2 - 15 + 3y) - (16 - y^2)\]

Упростим выражение:

\[5y - y^2 - 15 + 3y - 16 + y^2 = -y^2 + y^2 + 5y + 3y - 15 - 16 = 8y - 31\]

Ответ: \[8y - 31\]

122. Решите уравнение:

1) (x - 1)(x + 1) – x(x − 3) = 0

Сначала раскроем скобки:

\[(x - 1)(x + 1) - x(x - 3) = x^2 - 1 - x^2 + 3x\]

Упростим уравнение:

\[x^2 - 1 - x^2 + 3x = 3x - 1 = 0\]

Решим уравнение относительно x:

\[3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\]

Ответ: \[x = \frac{1}{3}\]

2) 2x(3 + 8x) – (4x - 3)(4x + 3) = 1,5x

Раскроем скобки:

\[2x(3 + 8x) - (4x - 3)(4x + 3) = 6x + 16x^2 - (16x^2 - 9)\]

Упростим уравнение:

\[6x + 16x^2 - 16x^2 + 9 = 6x + 9 = 1.5x\]

Решим уравнение относительно x:

\[6x - 1.5x = -9 \Rightarrow 4.5x = -9 \Rightarrow x = \frac{-9}{4.5} = -2\]

Ответ: \[x = -2\]

3) (x – 6)(x + 6) - (2x - 3)(x - 1) = 6 - x²

Раскроем скобки:

\[(x - 6)(x + 6) - (2x - 3)(x - 1) = x^2 - 36 - (2x^2 - 2x - 3x + 3)\]

Упростим уравнение:

\[x^2 - 36 - 2x^2 + 5x - 3 = -x^2 + 5x - 39 = 6 - x^2\]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[-x^2 + x^2 + 5x = 6 + 39 \Rightarrow 5x = 45 \Rightarrow x = 9\]

Ответ: \[x = 9\]

123. Разложите на множители:

1) x² - 4

Используем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

\[x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\]

Ответ: \[(x - 2)(x + 2)\]

2) 25 - 9a²

Используем формулу разности квадратов:

\[25 - 9a^2 = (5 - 3a)(5 + 3a)\]

Ответ: \[(5 - 3a)(5 + 3a)\]

3) 36m² – 100n²

Используем формулу разности квадратов:

\[36m^2 - 100n^2 = (6m - 10n)(6m + 10n)\]

Можно вынести общий множитель 2 из каждой скобки:

\[(6m - 10n)(6m + 10n) = 4(3m - 5n)(3m + 5n)\]

Ответ: \[4(3m - 5n)(3m + 5n)\]

4) 0,04p² – 1,69q²

Используем формулу разности квадратов:

\[0.04p^2 - 1.69q^2 = (0.2p - 1.3q)(0.2p + 1.3q)\]

Ответ: \[(0.2p - 1.3q)(0.2p + 1.3q)\]

5) x²y² - 4/9

Используем формулу разности квадратов:

\[x^2y^2 - \frac{4}{9} = (xy - \frac{2}{3})(xy + \frac{2}{3})\]

Ответ: \[(xy - \frac{2}{3})(xy + \frac{2}{3})\]

6) a⁴ – b⁶

Используем формулу разности квадратов:

\[a^4 - b^6 = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)\]

Ответ: \[(a^2 - b^3)(a^2 + b^3)\]

7) 0,01c² – d⁸

Используем формулу разности квадратов:

\[0.01c^2 - d^8 = (0.1c - d^4)(0.1c + d^4)\]

Ответ: \[(0.1c - d^4)(0.1c + d^4)\]

8) 0,81y¹⁰ – 400z¹²

Используем формулу разности квадратов:

\[0.81y^{10} - 400z^{12} = (0.9y^5 - 20z^6)(0.9y^5 + 20z^6)\]

Ответ: \[(0.9y^5 - 20z^6)(0.9y^5 + 20z^6)\]

9) -1 + 49a⁴b⁸

Используем формулу разности квадратов:

\[-1 + 49a^4b^8 = (7a^2b^4 - 1)(7a^2b^4 + 1)\]

Ответ: \[(7a^2b^4 - 1)(7a^2b^4 + 1)\]

10) 1 7/9 m²n² - 11/25 a⁶b²

Преобразуем смешанную дробь в неправильную:

\[1 \frac{7}{9} = \frac{16}{9}\]

Используем формулу разности квадратов:

\[\frac{16}{9}m^2n^2 - \frac{11}{25}a^6b^2 = (\frac{4}{3}mn - \frac{\sqrt{11}}{5}a^3b)(\frac{4}{3}mn + \frac{\sqrt{11}}{5}a^3b)\]

Ответ: \[(\frac{4}{3}mn - \frac{\sqrt{11}}{5}a^3b)(\frac{4}{3}mn + \frac{\sqrt{11}}{5}a^3b)\]

124. Разложите на множители:

1) (3b-5)² - 49

Используем формулу разности квадратов:

\[(3b - 5)^2 - 49 = (3b - 5 - 7)(3b - 5 + 7) = (3b - 12)(3b + 2)\]

Можно вынести общий множитель 3 из первой скобки:

\[(3b - 12)(3b + 2) = 3(b - 4)(3b + 2)\]

Ответ: \[3(b - 4)(3b + 2)\]

2) (2x - 3)² - (x + 4)²

Используем формулу разности квадратов:

\[(2x - 3)^2 - (x + 4)^2 = (2x - 3 - (x + 4))(2x - 3 + (x + 4)) = (2x - 3 - x - 4)(2x - 3 + x + 4) = (x - 7)(3x + 1)\]

Ответ: \[(x - 7)(3x + 1)\]

3) a⁴ – (a – 7)²

Используем формулу разности квадратов:

\[a^4 - (a - 7)^2 = (a^2 - (a - 7))(a^2 + (a - 7)) = (a^2 - a + 7)(a^2 + a - 7)\]

Ответ: \[(a^2 - a + 7)(a^2 + a - 7)\]

4) (a - b + c)² - (a - b - c)²

Используем формулу разности квадратов:

\[(a - b + c)^2 - (a - b - c)^2 = ((a - b + c) - (a - b - c))((a - b + c) + (a - b - c)) = (a - b + c - a + b + c)(a - b + c + a - b - c) = (2c)(2a - 2b)\]

Можно вынести общий множитель 2 из второй скобки:

\[(2c)(2a - 2b) = 4c(a - b)\]

Ответ: \[4c(a - b)\]

125. Решите уравнение:

1) x² - 64 = 0

Решим уравнение:

\[x^2 - 64 = 0 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm \sqrt{64} \Rightarrow x = \pm 8\]

Ответ: \[x = \pm 8\]

2) 4x² - 25 = 0

Решим уравнение:

\[4x^2 - 25 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 25 \Rightarrow x^2 = \frac{25}{4} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \Rightarrow x = \pm \frac{5}{2}\]

Ответ: \[x = \pm \frac{5}{2}\]

3) 9x² + 16 = 0

Решим уравнение:

\[9x^2 + 16 = 0 \Rightarrow 9x^2 = -16 \Rightarrow x^2 = -\frac{16}{9}\]

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Решений нет

4) (2x - 3)² - 36 = 0

Решим уравнение:

\[(2x - 3)^2 - 36 = 0 \Rightarrow (2x - 3)^2 = 36 \Rightarrow 2x - 3 = \pm \sqrt{36} \Rightarrow 2x - 3 = \pm 6\]

Рассмотрим два случая:

1) \[2x - 3 = 6 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{2}\]

2) \[2x - 3 = -6 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\]

Ответ: \[x = \frac{9}{2}, x = -\frac{3}{2}\]

126. Докажите, что при любом натуральном n значения выражения:

1) (5n + 9)² – 16 делится нацело на 5

Преобразуем выражение:

\[(5n + 9)^2 - 16 = (5n + 9 - 4)(5n + 9 + 4) = (5n + 5)(5n + 13) = 5(n + 1)(5n + 13)\]

Так как выражение содержит множитель 5, то оно делится нацело на 5 при любом натуральном n.

Ответ: Доказано, выражение делится нацело на 5

2) (7n + 10)² - (n – 2)² делится нацело на 8.

Преобразуем выражение:

\[(7n + 10)^2 - (n - 2)^2 = (7n + 10 - (n - 2))(7n + 10 + (n - 2)) = (7n + 10 - n + 2)(7n + 10 + n - 2) = (6n + 12)(8n + 8) = 6(n + 2) \cdot 8(n + 1) = 48(n + 2)(n + 1)\]

Так как выражение содержит множитель 48, а 48 делится на 8, то выражение делится нацело на 8 при любом натуральном n.

Ответ: Доказано, выражение делится нацело на 8

Ответ: Все решено! У тебя отлично получается, продолжай в том же духе!