Упростите выражение (а + 1)(а – 1)(а² + 1) – (9 + а²)² и найдите его значение при а = ⅓.

Упростим выражение $$(a + 1)(a - 1)(a^2 + 1) - (9 + a^2)^2$$. Используем формулы сокращенного умножения разность квадратов: $$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $$ и квадрат суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.

$$ (a + 1)(a - 1)(a^2 + 1) - (9 + a^2)^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1) - (81 + 18a^2 + a^4) = a^4 - 1 - 81 - 18a^2 - a^4 = -18a^2 - 82 $$.

Найдем значение выражения при $$ a = \frac{1}{3} $$.

$$ -18 \cdot (\frac{1}{3})^2 - 82 = -18 \cdot \frac{1}{9} - 82 = -2 - 82 = -84 $$.

Ответ: $$-84 $$.