Упростите выражение: a) 5x⁻⁶y⁸ ⋅ 7,2x⁴y⁻³; б) (4a⁻⁶ / 3b⁻⁴)⁻³ ⋅ 16a⁻⁸b⁷.

Решение:

а) Упростим первое выражение:

1. Перемножим числовые коэффициенты: \( 5 \cdot 7.2 = 36 \)
2. Сложим степени с одинаковыми основаниями для \( x \): \( x^{-6} \cdot x^{4} = x^{-6+4} = x^{-2} \)
3. Сложим степени с одинаковыми основаниями для \( y \): \( y^{8} \cdot y^{-3} = y^{8+(-3)} = y^{5} \)
4. Объединим результаты: \( 36x^{-2}y^{5} \)

б) Упростим второе выражение:

1. Сначала упростим выражение в скобках: \( \frac{4a^{-6}}{3b^{-4}} = \frac{4}{3} a^{-6} b^{4} \)
2. Возведём полученное выражение в степень -3:
• \( \left(\frac{4}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{3} = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64} \)
• \( (a^{-6})^{-3} = a^{-6 \cdot -3} = a^{18} \)
• \( (b^{4})^{-3} = b^{4 \cdot -3} = b^{-12} \)
3. Получим: \( \frac{27}{64} a^{18} b^{-12} \)
4. Теперь умножим на \( 16a^{-8}b^{7} \):
• Числовые коэффициенты: \( \frac{27}{64} \cdot 16 = \frac{27 \cdot 16}{64} = \frac{27}{4} \)
• Степени \( a \): \( a^{18} \cdot a^{-8} = a^{18+(-8)} = a^{10} \)
• Степени \( b \): \( b^{-12} \cdot b^{7} = b^{-12+7} = b^{-5} \)
5. Объединим результаты: \( \frac{27}{4} a^{10} b^{-5} \)

Ответ: а) \( 36x^{-2}y^{5} \); б) \( \frac{27}{4} a^{10} b^{-5} \).