Упростите выражение: (a³ · ∛a)¹⁄⁵ · (a² · ∛a)¹⁄⁷; (a + 1)/(∛(a²) − ∛a + 1); (∛x − ∛y + ⁶√x − ⁶√y)/(x¹⁄⁶ − y¹⁄⁶).

1. Перепишем корень как степень и перемножим степени с одинаковым основанием:

   \((a^3\cdot\sqrt[3]{a})^{1/5}(a^2\cdot\sqrt[3]{a})^{1/7}=a^{(3+1/3)/5}a^{(2+1/3)/7}=a^{2/3}a^{1/3}=a\).

2. Обозначим \(t=\sqrt[3]{a}\). Тогда \(a=t^3\), а числитель раскладывается как сумма кубов:

   \(\frac{a+1}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1}=\frac{t^3+1}{t^2-t+1}=\frac{(t+1)(t^2-t+1)}{t^2-t+1}=t+1=\sqrt[3]{a}+1\).

3. Пусть \(u=\sqrt[6]{x}\), \(v=\sqrt[6]{y}\). Тогда \(\sqrt[3]{x}=u^2\), \(\sqrt[3]{y}=v^2\), поэтому

   \(\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}+\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y}}{x^{1/6}-y^{1/6}}=\frac{u^2-v^2+u-v}{u-v}=\frac{(u-v)(u+v+1)}{u-v}=u+v+1\).

   Исходное выражение определено при \(x,y\ge0\) и \(x\ne y\).

Ответ: \(a\); \(\sqrt[3]{a}+1\); \(\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}+1\).