Упростите выражение: а) $\frac{5}{x^2+5x}+\frac{x+15}{25-x^2}$; б) $\frac{1}{x+3}+\frac{9x}{x^3+27}$; в) $\frac{2}{x}+\frac{12}{x^2-6x}-\frac{1-x}{x-6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение: а) $\frac{5}{x^2+5x}+\frac{x+15}{25-x^2}$; б) $\frac{1}{x+3}+\frac{9x}{x^3+27}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{5}{x(x+5)}+\frac{x+15}{(5-x)(x+5)}$.

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{5(5-x)+x(x+15)}{x(x+5)(5-x)}=\frac{x^2+10x+25}{x(x+5)(5-x)}$.

В числителе получился квадрат суммы: $x^2+10x+25=(x+5)^2$. Сократим на $x+5$:

$\frac{x+5}{x(5-x)}$, где $x\ne -5,0,5$.

б)

Разложим сумму кубов: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$.

Приведём дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^2-3x+9+9x}{(x+3)(x^2-3x+9)}=\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x^2-3x+9)}$.

Числитель равен $(x+3)^2$. Сократим на $x+3$:

$\frac{x+3}{x^2-3x+9}$, где $x\ne -3$.

в)

Разложим знаменатель второй дроби: $x^2-6x=x(x-6)$. Приведём выражение к общему знаменателю $x(x-6)$:

$\frac{2(x-6)+12-x(1-x)}{x(x-6)}=\frac{2x-12+12-x+x^2}{x(x-6)}$.

Соберём подобные слагаемые и сократим на $x$:

$\frac{x^2+x}{x(x-6)}=\frac{x(x+1)}{x(x-6)}=\frac{x+1}{x-6}$, где $x\ne 0,6$.

Упростите выражение: а) \(\frac{5}{x^2+5x}+\frac{x+15}{25-x^2}\); б) \(\frac{1}{x+3}+\frac{9x}{x^3+27}\); в) \(\frac{2}{x}+\frac{12}{x^2-6x}-\frac{1-x}{x-6}\).