Упростите выражение: а) $\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}$;

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение: а) $\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}$;$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим разность квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Сначала упростим выражение в скобках:

\[\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}=\frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}.\]

Так как $4ab+(a-b)^2=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, получаем:

\[\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{a+b}{2(a-b)}.\]

Тогда:

\[\frac{a+b}{2(a-b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1.\]

ОДЗ: $a\ne b$, $a\ne -b$.

Ответ: 1.

Упростите выражение: а) \(\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\);