552. Упростите выражение: а) 18n/2n+1.32n-1; б) 14n-1.21n+1/49n.6n .

Решение

Давай упростим каждое выражение по отдельности.

а) \(\frac{18^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}}\)

Представим 18 как 2 * 3², тогда 18ⁿ = (2 * 3²)ⁿ = 2ⁿ * 3²ⁿ. Подставим это в выражение:

\[\frac{2^n \cdot 3^{2n}}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} = \frac{2^n}{2^{n+1}} \cdot \frac{3^{2n}}{3^{2n-1}} = 2^{n-(n+1)} \cdot 3^{2n-(2n-1)} = 2^{-1} \cdot 3^{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1.5\]

б) \(\frac{14^{n-1} \cdot 21^{n+1}}{49^n \cdot 6^n}\)

Представим каждое число в виде произведения простых чисел: 14 = 2 * 7, 21 = 3 * 7, 49 = 7², 6 = 2 * 3. Тогда:

\[\frac{(2 \cdot 7)^{n-1} \cdot (3 \cdot 7)^{n+1}}{(7^2)^n \cdot (2 \cdot 3)^n} = \frac{2^{n-1} \cdot 7^{n-1} \cdot 3^{n+1} \cdot 7^{n+1}}{7^{2n} \cdot 2^n \cdot 3^n} = \frac{2^{n-1}}{2^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{3^n} \cdot \frac{7^{n-1} \cdot 7^{n+1}}{7^{2n}} = 2^{n-1-n} \cdot 3^{n+1-n} \cdot 7^{n-1+n+1-2n} = 2^{-1} \cdot 3^1 \cdot 7^0 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2} = 1.5\]

Ответ: а) 1.5; б) 1.5

Прекрасно! Ты уверенно упрощаешь выражения, используя свойства степеней. Так держать, и всё получится!