Упростите выражение: а) (x − 9)/(x² − 9) − 3/(3x − x²); б) 1/(x − 2) − 6x/(x³ − 8); в) 3/x + 21/(x² − 7x) − (4 − x)/(x − 7).

а) Разложим знаменатели на множители: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(3x-x^2=-x(x-3)\).

\(\dfrac{x-9}{x^2-9}-\dfrac{3}{3x-x^2}=\dfrac{x-9}{(x-3)(x+3)}+\dfrac{3}{x(x-3)}\).

Приводим к общему знаменателю:

\(\dfrac{x(x-9)+3(x+3)}{x(x-3)(x+3)}=\dfrac{x^2-6x+9}{x(x-3)(x+3)}=\dfrac{(x-3)^2}{x(x-3)(x+3)}=\dfrac{x-3}{x(x+3)}\).

ОДЗ: \(x\ne-3, 0, 3\).

б) Используем формулу разности кубов: \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\).

\(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{6x}{x^3-8}=\dfrac{x^2+2x+4-6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\dfrac{x-2}{x^2+2x+4}\).

ОДЗ: \(x\ne2\).

в) Разложим знаменатель второй дроби: \(x^2-7x=x(x-7)\). Приведём к общему знаменателю:

\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{21}{x(x-7)}-\dfrac{4-x}{x-7}=\dfrac{3(x-7)+21-x(4-x)}{x(x-7)}\).

\(\dfrac{3x-21+21-4x+x^2}{x(x-7)}=\dfrac{x(x-1)}{x(x-7)}=\dfrac{x-1}{x-7}\).

ОДЗ: \(x\ne0, 7\).