Упростите выражение: а) $x-\frac{x}{x+1}$; б) $\frac{m+2}{4m}-\frac{1}{m+4}$; в) $\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}$; г) $\frac{3x+y}{x^2+xy}-\frac{x+3y}{y^2+xy}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение: а) $x-\frac{x}{x+1}$; б) $\frac{m+2}{4m}-\frac{1}{m+4}$; в) $\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}$; г)…$ Фото задания

Упростите выражение: а) $x-\frac{x}{x+1}$; б) $\frac{m+2}{4m}-\frac{1}{m+4}$; в) $\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}$; г) $\frac{3x+y}{x^2+xy}-\frac{x+3y}{y^2+xy}$.

Accepted Answer

а)

Приведём к общему знаменателю:

$x-\frac{x}{x+1}=\frac{x(x+1)-x}{x+1}=\frac{x^2}{x+1}$.

ОДЗ: $x\ne-1$.

б)

Общий знаменатель: $4m(m+4)$.

$\frac{m+2}{4m}-\frac{1}{m+4}=\frac{(m+2)(m+4)-4m}{4m(m+4)}=\frac{m^2+6m+8-4m}{4m(m+4)}=\frac{m^2+2m+8}{4m(m+4)}$.

ОДЗ: $m\ne0$, $m\ne-4$.

в)

Приведём дроби к общему знаменателю:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}=\frac{x(x-y)+y(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^2-xy+xy+y^2}{x^2-y^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$.

ОДЗ: $x+y\ne0$, $x-y\ne0$.

г)

Разложим знаменатели на множители:

$x^2+xy=x(x+y)$, $y^2+xy=y(x+y)$.

$\frac{3x+y}{x(x+y)}-\frac{x+3y}{y(x+y)}=\frac{y(3x+y)-x(x+3y)}{xy(x+y)}$.

$=\frac{3xy+y^2-x^2-3xy}{xy(x+y)}=\frac{y^2-x^2}{xy(x+y)}=\frac{(y-x)(x+y)}{xy(x+y)}=\frac{y-x}{xy}$.

ОДЗ: $x\ne0$, $y\ne0$, $x+y\ne0$.

Ответ: а) $\frac{x^2}{x+1}$; б) $\frac{m^2+2m+8}{4m(m+4)}$; в) $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$; г) $\frac{y-x}{xy}$.

Упростите выражение: а) \(x-\frac{x}{x+1}\); б) \(\frac{m+2}{4m}-\frac{1}{m+4}\); в) \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}\); г) \(\frac{3x+y}{x^2+xy}-\frac{x+3y}{y^2+xy}\).

Ответ: