Упростите выражение: a) x²/(x-5)² - 25/(5-x)²; б) (x²+25)/(x-5)³ + 10x/(5-x)³.

Решение:

а)

Так как \( (5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2 \), то знаменатели дробей равны.

Приведём к общему знаменателю \( (x-5)^2 \):

\[ \frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} = \frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(x-5)^2} = \frac{x^2 - 25}{(x-5)^2} \]

Разложим числитель как разность квадратов: \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \).

\[ \frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} = \frac{x+5}{x-5} \]

б)

Так как \( (5-x)^3 = (-(x-5))^3 = -(x-5)^3 \), то второй знаменатель равен \( -(x-5)^3 \).

Приведём к общему знаменателю \( (x-5)^3 \):

\[ \frac{x^2 + 25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3} = \frac{x^2 + 25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{-(x-5)^3} = \frac{x^2 + 25 - 10x}{(x-5)^3} \]

Перепишем числитель в виде квадрата разности: \( x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 \).

\[ \frac{(x-5)^2}{(x-5)^3} = \frac{1}{x-5} \]

Ответ: а) \( \frac{x+5}{x-5} \); б) \( \frac{1}{x-5} \).