Упростите выражение: а) $y+\frac{3y}{y-3}$; б) $\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}$; в) $\frac{4}{x+4}-\frac{x}{x-4}$; г) $\frac{2p-q}{p^2+qp}+\frac{p-2q}{pq+q^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение: а) $y+\frac{3y}{y-3}$; б) $\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}$; в) $\frac{4}{x+4}-\frac{x}{x-4}$; г)…$ Фото задания

Упростите выражение: а) $y+\frac{3y}{y-3}$; б) $\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}$; в) $\frac{4}{x+4}-\frac{x}{x-4}$; г) $\frac{2p-q}{p^2+qp}+\frac{p-2q}{pq+q^2}$.

Accepted Answer

Приведём слагаемые к общему знаменателю:
$y+\frac{3y}{y-3}=\frac{y(y-3)+3y}{y-3}=\frac{y^2-3y+3y}{y-3}=\frac{y^2}{y-3}$, где $y\ne3$.
Общий знаменатель — $5x(x-5)$:
$\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}=\frac{10x+(x+5)(x-5)}{5x(x-5)}=\frac{10x+x^2-25}{5x(x-5)}=\frac{x^2+10x-25}{5x(x-5)}$, где $x\ne0,5$.
Общий знаменатель — $(x+4)(x-4)$:
$\frac{4}{x+4}-\frac{x}{x-4}=\frac{4(x-4)-x(x+4)}{(x+4)(x-4)}=\frac{4x-16-x^2-4x}{x^2-16}=-\frac{x^2+16}{x^2-16}$, где $x\ne-4,4$.
Разложим знаменатели на множители и приведём дроби к общему знаменателю $pq(p+q)$:
$\frac{2p-q}{p^2+qp}+\frac{p-2q}{pq+q^2}=\frac{q(2p-q)+p(p-2q)}{pq(p+q)}=\frac{2pq-q^2+p^2-2pq}{pq(p+q)}$.
Числитель равен $p^2-q^2=(p-q)(p+q)$, поэтому сокращаем общий множитель $p+q$:
$\frac{(p-q)(p+q)}{pq(p+q)}=\frac{p-q}{pq}$, где $p\ne0$, $q\ne0$, $p+q\ne0$.

Ответ: а) $\frac{y^2}{y-3}$; б) $\frac{x^2+10x-25}{5x(x-5)}$; в) $-\frac{x^2+16}{x^2-16}$; г) $\frac{p-q}{pq}$.

Упростите выражение: а) \(y+\frac{3y}{y-3}\); б) \(\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}\); в) \(\frac{4}{x+4}-\frac{x}{x-4}\); г) \(\frac{2p-q}{p^2+qp}+\frac{p-2q}{pq+q^2}\).

Ответ: