2. Упростите выражение 2(cos 2a cosa + sin 2a sina) + cos 3а , при α = π 7-3

2. Упростим выражение $$2(\cos{2\alpha} \cos{\alpha} + \sin{2\alpha} \sin{\alpha}) + \cos{3\alpha}$$, при $$ \alpha = \frac{\pi}{3}$$.

Воспользуемся формулой косинуса разности:

$$\cos(a - b) = \cos{a} \cos{b} + \sin{a} \sin{b}$$.

Тогда:

$$2(\cos{2\alpha} \cos{\alpha} + \sin{2\alpha} \sin{\alpha}) + \cos{3\alpha} = 2\cos{(2\alpha - \alpha)} + \cos{3\alpha} = 2\cos{\alpha} + \cos{3\alpha}$$.

Используем формулу:

$$\cos{3\alpha} = 4\cos^3{\alpha} - 3\cos{\alpha}$$.

Тогда:

$$2\cos{\alpha} + \cos{3\alpha} = 2\cos{\alpha} + 4\cos^3{\alpha} - 3\cos{\alpha} = 4\cos^3{\alpha} - \cos{\alpha}$$.

Подставим значение $$ \alpha = \frac{\pi}{3}$$:

$$4\cos^3{\frac{\pi}{3}} - \cos{\frac{\pi}{3}} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = \frac{4}{8} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$$.

Ответ: 0