4 Упростите выражение 2(cos 2a cosa + sin 2a sina) + cos 3а, при α 7-3

Для упрощения выражения $$2(\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha + \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha) + \cos 3\alpha$$, при $$\alpha = \frac{\pi}{3}$$ используем формулу косинуса разности углов:$$\cos (a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b$$

Тогда выражение в скобках можно преобразовать:

$$\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha + \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha = \cos(2\alpha - \alpha) = \cos \alpha$$

Теперь исходное выражение примет вид:

$$2\cos \alpha + \cos 3\alpha$$

Подставим значение $$\alpha = \frac{\pi}{3}$$:

$$2\cos \frac{\pi}{3} + \cos (3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\cos \frac{\pi}{3} + \cos \pi$$

Знаем, что $$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$ и $$\cos \pi = -1$$, поэтому:

$$2 \cdot \frac{1}{2} + (-1) = 1 - 1 = 0$$

Ответ: 0