Упростите выражение: \(\dfrac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+\left(\dfrac{a^2+ab+b^2}{a^3+b^3}-\dfrac{b^3-a^3}{a^2-ab+b^2}\right)\cdot\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}\).

Question

Вопрос:

Упростите выражение: \(\dfrac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+\left(\dfrac{a^2+ab+b^2}{a^3+b^3}-\dfrac{b^3-a^3}{a^2-ab+b^2}\right)\cdot\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}\).

Accepted Answer

Разложим суммы и разности кубов: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), \(b^3-a^3=-(a-b)(a^2+ab+b^2)\). Также \(b^2-a^2=-(a-b)(a+b)\).

Упростим произведение в скобках с последней дробью:

\(\left(\dfrac{a^2+ab+b^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}+\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}\right)\cdot\dfrac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)

\(=\dfrac{1}{(a+b)(a-b)}+1=\dfrac{1}{a^2-b^2}+1\).

Теперь сложим с первой дробью:

\(\dfrac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+\dfrac{1}{a^2-b^2}+1=\dfrac{2ab+2b^2}{a^2-b^2}+1=\dfrac{2b}{a-b}+1=\dfrac{a+b}{a-b}\).

Ответ: \(\dfrac{a+b}{a-b}\), при \(a\ne b\) и \(a\ne -b\).