Упростите выражение для всех допустимых значений $t$: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)+\operatorname{ctg}(2\pi-t)-\sin(\pi-t)+\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{2}-t\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение для всех допустимых значений $t$:…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулы приведения и периодичность тригонометрических функций:

$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)=-\sin t$, а $\operatorname{ctg}(2\pi-t)=-\operatorname{ctg}t$.
$\sin(\pi-t)=\sin t$, поэтому слагаемое $-\sin(\pi-t)=-\sin t$.
$\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{2}-t\right)=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\operatorname{ctg}t$, поскольку тангенс имеет период $\pi$.
Складываем: $-\sin t-\operatorname{ctg}t-\sin t+\operatorname{ctg}t=-2\sin t$.

Область допустимых значений исходного выражения: $t\ne\pi k$, где $k\in\mathbb Z$.

Ответ: $-2\sin t$, $t\ne\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Упростите выражение для всех допустимых значений \(t\): \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)+\operatorname{ctg}(2\pi-t)-\sin(\pi-t)+\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{2}-t\right)\).