Упростите выражение для всех допустимых значений $t$: $\sin(2\pi-t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\operatorname{ctg}(\pi+t)-\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{2}+t\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение для всех допустимых значений $t$:…$ Фото задания

Упростите выражение для всех допустимых значений $t$: $\sin(2\pi-t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\operatorname{ctg}(\pi+t)-\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{2}+t\right)$.

Accepted Answer

Используем формулы приведения и периодичность:

$\sin(2\pi-t)=-\sin t$, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t$, поэтому первые два слагаемых взаимно уничтожаются.

$\operatorname{ctg}(\pi+t)=\operatorname{ctg}t$, а $\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{2}+t\right)=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\operatorname{ctg}t$.

Тогда выражение равно $\operatorname{ctg}t-(-\operatorname{ctg}t)=2\operatorname{ctg}t$.

Исходное выражение определено при $\sin t\ne0$ и $\cos t\ne0$, то есть при $t\ne\frac{k\pi}{2}$, где $k\in\mathbb Z$.

Ответ: $2\operatorname{ctg}t$, $t\ne\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb Z$.

Упростите выражение для всех допустимых значений \(t\): \(\sin(2\pi-t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\operatorname{ctg}(\pi+t)-\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{2}+t\right)\).

Ответ: