Упростите выражение, если n – натуральное число: 15^n / (3^(n-1) * 5^(n+1))

Решение:

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней.

1. Представим число 15 как произведение 3 и 5: \( 15^n = (3 \cdot 5)^n = 3^n \cdot 5^n \).
2. Подставим это в исходное выражение: \[ \frac{3^n \cdot 5^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}} \]
3. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} \).
4. Выделим отдельно степени с основанием 3 и 5: \[ \frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} \]
5. Вычислим каждую часть: \( 3^{n - (n-1)} = 3^{n-n+1} = 3^1 = 3 \).
6. Вычислим вторую часть: \( 5^{n - (n+1)} = 5^{n-n-1} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \).
7. Перемножим полученные результаты: \( 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \).

Ответ: \( \frac{3}{5} \).