Упростите выражение, если n – натуральное число: 15^n / (3^n * 5^(n+1))

Решение:

Чтобы упростить выражение \( \frac{15^n}{3^n \cdot 5^{n+1}} \), воспользуемся свойствами степеней.

1. Представим числитель \( 15^n \) как \( (3 \cdot 5)^n \), что равно \( 3^n \cdot 5^n \).
2. Подставим это в исходное выражение: \[ \frac{3^n \cdot 5^n}{3^n \cdot 5^{n+1}} \]
3. Сократим \( 3^n \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} \]
4. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием \( a^m / a^n = a^{m-n} \): \[ 5^{n - (n+1)} = 5^{n - n - 1} = 5^{-1} \]
5. Вспомним, что \( a^{-1} = \frac{1}{a} \): \[ 5^{-1} = \frac{1}{5} \]

Ответ: \( \frac{1}{5} \).