Упростите выражение, если n — натуральное число: 15^n / (3^n * 5^(n+1))

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся свойствами степеней. Разложим число 15 на простые множители: \( 15 = 3 \cdot 5 \).

Тогда выражение можно переписать так:

\[ \frac{15^n}{3^n \cdot 5^{n+1}} = \frac{(3 \cdot 5)^n}{3^n \cdot 5^{n+1}} \]

Применим свойство степени \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) к числителю:

\[ \frac{3^n \cdot 5^n}{3^n \cdot 5^{n+1}} \]

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ( \( 3^n \) ):

\[ \frac{\cancel{3^n} \cdot 5^n}{\cancel{3^n} \cdot 5^{n+1}} = \frac{5^n}{5^{n+1}} \]

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^p} = a^{m-p} \):

\[ 5^{n - (n+1)} = 5^{n - n - 1} = 5^{-1} \]

По определению отрицательной степени \( a^{-k} = \frac{1}{a^k} \), получаем:

\[ 5^{-1} = \frac{1}{5} \]

Таким образом, упрощенное выражение равно \( \frac{1}{5} \).

Ответ: \( \frac{1}{5} \).