Упростите выражение, если n – натуральное число: 3n-1.5n+1 15n

Решение:

Необходимо упростить выражение \( \frac{15^n}{3^n \cdot 1.5^{n+1}} \).

1. Представим число 1.5 как обыкновенную дробь: \( 1.5 = \frac{3}{2} \).
2. Подставим это значение в знаменатель: \( 3^n \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n+1} = 3^n \cdot \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}} \).
3. Воспользуемся свойством степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) для числителя: \( 3^n \cdot 3^{n+1} = 3^{n + (n+1)} = 3^{2n+1} \).
4. Теперь выражение в знаменателе выглядит так: \( \frac{3^{2n+1}}{2^{n+1}} \).
5. Подставим это обратно в дробь: \( \frac{15^n}{\frac{3^{2n+1}}{2^{n+1}}} \).
6. Перевернем дробь в знаменателе и умножим: \( 15^n \cdot \frac{2^{n+1}}{3^{2n+1}} \).
7. Представим \( 15^n \) как \( (3 \cdot 5)^n = 3^n \cdot 5^n \).
8. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{3^n \cdot 5^n \cdot 2^{n+1}}{3^{2n+1}} \).
9. Сократим степени числа 3, используя правило \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 3^{n - (2n+1)} = 3^{n - 2n - 1} = 3^{-n-1} \).
10. Выражение стало: \( 3^{-n-1} \cdot 5^n \cdot 2^{n+1} \).
11. Перепишем \( 3^{-n-1} \) как \( \frac{1}{3^{n+1}} \).
12. Теперь выражение: \( \frac{5^n \cdot 2^{n+1}}{3^{n+1}} \).
13. Заметим, что \( 2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^n \) и \( 3^{n+1} = 3 \cdot 3^n \).
14. Выражение: \( \frac{5^n \cdot 2 \cdot 2^n}{3 \cdot 3^n} \).
15. Перегруппируем: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{5^n \cdot 2^n}{3^n} \).
16. Используем свойство \( \frac{a^n \cdot b^n}{c^n} = \left(\frac{a \cdot b}{c}\right)^n \) или \( \frac{a^n}{c^n} = \left(\frac{a}{c}\right)^n \): \( \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{5 \cdot 2}{3}\right)^n = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{10}{3}\right)^n \).

Ответ: \( \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{10}{3}\right)^n \).