Упростите выражение: \( \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{12}} - \frac{3}{\sqrt{27}} \)

Решение:

Для упрощения выражения приведём знаменатели к общему виду, извлекая множители из-под корня:

1. \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
2. \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)

Подставим полученные значения в исходное выражение:

\[ \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{5}{2\sqrt{3}} - \frac{3}{3\sqrt{3}} \]\[ \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{5}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Теперь приведём к общему знаменателю \( 2\sqrt{3} \):

\[ \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{5}{2\sqrt{3}} - \frac{1 \cdot 2}{\sqrt{3} \cdot 2} \]\[ \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{5}{2\sqrt{3}} - \frac{2}{2\sqrt{3}} \]

Сложим числители:

\[ \frac{1 + 5 - 2}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{2}{\sqrt{3}} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\[ \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Ответ: \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \).