Упростите выражение: (\(\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{6}y^2\))(\(\frac{1}{9}x^4 - \frac{1}{18}x^2y^2 + \frac{1}{36}y^4\)) - \(\frac{1}{216}y^6\)

Привет! Давай упростим это выражение вместе. Это похоже на формулу разности кубов, только с переменными. Помнишь, что \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)?

Сейчас попробуем привести наше выражение к этому виду.

1. Рассмотрим первую часть: \(\left(\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{6}y^2\right)\left(\frac{1}{9}x^4 - \frac{1}{18}x^2y^2 + \frac{1}{36}y^4\)\).
2. Заметим, что:
   • \(a = \frac{1}{3}x^2\), тогда \(a^2 = \left(\frac{1}{3}x^2\right)^2 = \frac{1}{9}x^4\)
   • \(b = \frac{1}{6}y^2\), тогда \(b^2 = \left(\frac{1}{6}y^2\right)^2 = \frac{1}{36}y^4\)
   • \(ab = \left(\frac{1}{3}x^2\right) \times \left(\frac{1}{6}y^2\right) = \frac{1}{18}x^2y^2\)
3. Получаем формулу разности кубов: \(a^2 + ab + b^2\) соответствует второй скобке.
4. Значит, первая часть равна: \(a^3 - b^3 = \left(\frac{1}{3}x^2\right)^3 - \left(\frac{1}{6}y^2\right)^3 = \frac{1}{27}x^6 - \frac{1}{216}y^6\).
5. Теперь вернемся к исходному выражению:

\(\left(\frac{1}{27}x^6 - \frac{1}{216}y^6\right) - \frac{1}{216}y^6\)

Упрощаем:

\(\frac{1}{27}x^6 - \frac{1}{216}y^6 - \frac{1}{216}y^6 = \frac{1}{27}x^6 - \frac{2}{216}y^6\)

Сокращаем дробь:

\(\frac{2}{216} = \frac{1}{108}\)

Итоговое выражение:

\(\frac{1}{27}x^6 - \frac{1}{108}y^6\)

Ответ: \( \frac{1}{27}x^6 - \frac{1}{108}y^6 \)