Упростите выражение: \(\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}\).

Используем разложение \(\frac{1}{(a-k)(a-k-1)}=\frac{1}{a-k-1}-\frac{1}{a-k}\).

Тогда

\[\begin{aligned}\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}&=\left(\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1}\right)+\left(\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-2}\right)+\left(\frac{1}{a-4}-\frac{1}{a-3}\right)\\&=\frac{1}{a-4}-\frac{1}{a-1}=\frac{3}{(a-4)(a-1)}.\end{aligned}\]

Ограничения из знаменателей: \(a\ne1,2,3,4\).

Ответ: \(\frac{3}{(a-4)(a-1)}\), при \(a\ne1,2,3,4\).