Упростите выражение: (\frac{1}{a+b} + \frac{2}{a-b}) \cdot \frac{a^2-b^2}{3a+b}

Решение:

Сначала приведем дробь в скобках к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{a+b} + \frac{2}{a-b} = \frac{1(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{2(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a-b+2a+2b}{a^2-b^2} = \frac{3a+b}{a^2-b^2} \]

Теперь умножим полученное выражение на вторую дробь:

\[ \frac{3a+b}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{3a+b} \]

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\cancel{3a+b}}{\cancel{a^2-b^2}} \cdot \frac{\cancel{a^2-b^2}}{\cancel{3a+b}} = 1 \]

Ответ: 1