Упростите выражение \(\frac{1}{b-3}-\frac{6b}{b^2-9}\cdot\left(\frac{1}{b-2}-\frac{2}{b^2-2b}\right)\) и найдите его значение при \(b=\frac12\).

Разложим знаменатели на множители:

\(b^2-9=(b-3)(b+3)\), \(b^2-2b=b(b-2)\).

Упростим выражение в скобках:

\[\frac{1}{b-2}-\frac{2}{b(b-2)}=\frac{b-2}{b(b-2)}=\frac{1}{b}.\]

Тогда

\[\begin{aligned}\frac{1}{b-3}-\frac{6b}{(b-3)(b+3)}\cdot\frac{1}{b}&=\frac{1}{b-3}-\frac{6}{(b-3)(b+3)}\\&=\frac{b+3-6}{(b-3)(b+3)}=\frac{b-3}{(b-3)(b+3)}=\frac{1}{b+3}.\end{aligned}\]

В исходном выражении знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому \(b\ne -3, 0, 2, 3\).

Подставим \(b=\frac12\):

\[\frac{1}{b+3}=\frac{1}{\frac12+3}=\frac{1}{\frac72}=\frac27.\]

Ответ: \(\frac{1}{b+3}\), при \(b=\frac12\) значение равно \(\frac27\).