Упростите выражение: \(\frac{1+\sin{2\alpha}}{\cos^2\alpha}\)

Решение:

Для упрощения выражения \(\frac{1+\sin{2\alpha}}{\cos^2\alpha}\) воспользуемся тригонометрическими формулами:

1. Формула синуса двойного угла: \(\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\).

2. Основное тригонометрическое тождество: \(1 = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}\).

3. Формула косинуса двойного угла: \(\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}\).

Подставим формулу синуса двойного угла в числитель:

\[ \frac{1 + 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\cos^2\alpha} \]