Упростите выражение: (\(\frac{2m}{2m+n} - \frac{4m^2}{4m^2 + 4mn + n^2}\)) : (\(\frac{2m}{4m^2 - n^2} + \frac{1}{n-2m}\))

Решение:

1. Преобразуем первое выражение в скобках:
   • Приведём дроби к общему знаменателю \( (2m+n)(4m^2+4mn+n^2) \).
   • \( \frac{2m}{2m+n} = \frac{2m(4m^2+4mn+n^2)}{(2m+n)(4m^2+4mn+n^2)} \)
   • \( \frac{4m^2}{4m^2+4mn+n^2} = \frac{4m^2(2m+n)}{(2m+n)(4m^2+4mn+n^2)} = \frac{8m^3+4m^2n}{(2m+n)(4m^2+4mn+n^2)} \)
   • \( \frac{2m(4m^2+4mn+n^2) - 4m^2(2m+n)}{(2m+n)(4m^2+4mn+n^2)} = \frac{8m^3+8m^2n+2mn^2 - 8m^3-4m^2n}{(2m+n)(4m^2+4mn+n^2)} = \frac{4m^2n+2mn^2}{(2m+n)(4m^2+4mn+n^2)} \)
   • Заметим, что \( 4m^2+4mn+n^2 = (2m+n)^2 \).
   • Тогда \( \frac{4m^2n+2mn^2}{(2m+n)(2m+n)^2} = \frac{2mn(2m+n)}{(2m+n)^3} = \frac{2mn}{(2m+n)^2} \)
2. Преобразуем второе выражение в скобках:
   • Приведём дроби к общему знаменателю \( (2m-n)(2m+n) \).
   • \( \frac{2m}{4m^2-n^2} = \frac{2m}{(2m-n)(2m+n)} \)
   • \( \frac{1}{n-2m} = \frac{1}{-(2m-n)} = \frac{-1}{2m-n} = \frac{-1(2m+n)}{(2m-n)(2m+n)} = \frac{-2m-n}{(2m-n)(2m+n)} \)
   • \( \frac{2m}{(2m-n)(2m+n)} + \frac{-2m-n}{(2m-n)(2m+n)} = \frac{2m - 2m - n}{(2m-n)(2m+n)} = \frac{-n}{(2m-n)(2m+n)} \)
3. Разделим первое выражение на второе:
   • \( \frac{2mn}{(2m+n)^2} : \frac{-n}{(2m-n)(2m+n)} = \frac{2mn}{(2m+n)^2} \cdot \frac{(2m-n)(2m+n)}{-n} \)
   • \( = \frac{2m}{-n} \cdot \frac{2m-n}{2m+n} = \frac{2m(n-2m)}{n(2m+n)} \)

Ответ: \(\frac{2m(n-2m)}{n(2m+n)}\)