Упростите выражение \( \frac{2x + 18}{x^2 + 18x + 81} \) и найдите его значение при \( x = -11,5 \).

Решение:

1. Упростим выражение:

   Вынесем общий множитель \( 2 \) из числителя:

   \[ \frac{2(x + 9)}{x^2 + 18x + 81} \]

   Знаменатель является полным квадратом суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). В данном случае \( a=x \) и \( b=9 \), так как \( 2 \cdot x \cdot 9 = 18x \).

   \[ \frac{2(x + 9)}{(x + 9)^2} \]

   Сократим дробь на \( (x + 9) \), при условии, что \( x \neq -9 \).

   \[ \frac{2}{x + 9} \]
2. Найдем значение выражения при \( x = -11,5 \):

   Подставим \( x = -11,5 \) в упрощенное выражение:

   \[ \frac{2}{-11,5 + 9} \]\[ \frac{2}{-2,5} \]

   Чтобы разделить на \( -2,5 \), можно умножить числитель и знаменатель на \( 10 \):

   \[ \frac{2 \cdot 10}{-2,5 \cdot 10} = \frac{20}{-25} \]

   Сократим дробь на \( 5 \):

   \[ \frac{4}{-5} = -0,8 \]

Ответ: -0,8.