Упростите выражение $$\frac{2y+6}{y^2-4y+4} - \frac{8}{y-2}$$ и представьте в виде несократимой алгебраической дроби.

Решение:

Чтобы упростить выражение, приведём дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель первой дроби $$y^2 - 4y + 4$$ является полным квадратом: $$y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2$$.

Теперь приведём вторую дробь к знаменателю $$(y-2)^2$$: $$\frac{8}{y-2} = \frac{8(y-2)}{(y-2)^2}$$.

Выполним вычитание дробей:

$$ \frac{2y+6}{(y-2)^2} - \frac{8(y-2)}{(y-2)^2} = \frac{(2y+6) - 8(y-2)}{(y-2)^2} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{2y+6 - 8y + 16}{(y-2)^2} = \frac{-6y + 22}{(y-2)^2} $$

Вынесем общий множитель 2 из числителя:

$$ \frac{2(11 - 3y)}{(y-2)^2} $$

Проверим варианты ответов:

• 1. $$\frac{2(11-3y)}{(y-2)^3}$$ - неверно (знаменатель в кубе).
• 2. $$\frac{-6y^2 +34y-44}{(y-2)(y^2-4y+4)}$$ - неверно (знаменатель не приведён к общему, числитель не упрощён).
• 3. $$\frac{2y-2}{y^2-5y+6}$$ - неверно (другое выражение).
• 4. $$\frac{22-6y}{(y-2)^2}$$ - верно (равно нашему результату).

Ответ: $$\frac{22-6y}{(y-2)^2}$$