Упростите выражение: \(\frac{48}{74} \cdot \frac{62}{68}\)

Решение:

Для упрощения выражения необходимо перемножить числители и знаменатели, а затем сократить дробь.

1. Перемножим числители: \( 48 \cdot 62 = 2976 \)
2. Перемножим знаменатели: \( 74 \cdot 68 = 5032 \)
3. Получим дробь: \( \frac{2976}{5032} \)
4. Сократим дробь. Найдём наибольший общий делитель для 2976 и 5032. Оба числа делятся на 8: \( \frac{2976 \div 8}{5032 \div 8} = \frac{372}{629} \)
5. Теперь проверим, делятся ли числа на 31. \( 372 \div 31 = 12 \) и \( 629 \div 31 = 20.29 \) (не делится).
6. Проверим, делятся ли числа на 24. \( 2976 \div 24 = 124 \) и \( 5032 \div 24 = 209.66 \) (не делится).
7. Проверим, делятся ли числа на 4: \( \frac{2976 \div 4}{5032 \div 4} = \frac{744}{1258} \)
8. Снова сократим на 2: \( \frac{744 \div 2}{1258 \div 2} = \frac{372}{629} \)
9. Попробуем сократить изначальное выражение до умножения:

\( \frac{48}{74} \cdot \frac{62}{68} = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 37} \cdot \frac{2 \cdot 31}{4 \cdot 17} = \frac{24}{37} \cdot \frac{2 \cdot 31}{2 \cdot 2 \cdot 17} \)

\( \frac{48}{74} = \frac{24}{37} \)

\( \frac{62}{68} = \frac{31}{34} \)

\( \frac{24}{37} \cdot \frac{31}{34} = \frac{24 \cdot 31}{37 \cdot 34} = \frac{744}{1258} \)

Сократим \( \frac{744}{1258} \) на 2: \( \frac{372}{629} \)

Наибольший общий делитель 372 и 629 - это 31. \( 372 = 12 \cdot 31 \) и \( 629 = 20.29
\) (не делится на 31).

Проверим, что 372 делится на 2, 3, 4, 6, 12.

629 делится на 1, 17, 31, 629.

У нас есть \( \frac{48}{74} \cdot \frac{62}{68} \). Можно сократить: \( 48 \) и \( 68 \) делятся на 4: \( \frac{12}{74} \cdot \frac{62}{17} \). \( 12 \) и \( 74 \) делятся на 2: \( \frac{6}{37} \cdot \frac{62}{17} \). \( 62 \) и \( 37 \) не сокращаются. \( 62 \) и \( 17 \) не сокращаются.

\( \frac{6}{37} \cdot \frac{62}{17} = \frac{6 \cdot 62}{37 \cdot 17} = \frac{372}{629} \)

Ответ: \( \frac{372}{629} \)