Упростите выражение: (\( \frac{5x^{-4}}{2y^2} \))^4 \(\cdot\) 625x^{13}y^{10}

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, применим свойства степеней.

1. Возведём первую дробь в четвёртую степень: \[ \left(\frac{5x^{-4}}{2y^2}\right)^4 = \frac{(5x^{-4})^4}{(2y^2)^4} = \frac{5^4 \cdot (x^{-4})^4}{2^4 \cdot (y^2)^4} = \frac{625 x^{-16}}{16 y^8} \]
2. Теперь умножим полученное выражение на вторую часть: \[ \frac{625 x^{-16}}{16 y^8} \cdot 625x^{13}y^{10} = \frac{625 \cdot 625}{16} \cdot \frac{x^{-16} \cdot x^{13}}{y^8} \cdot y^{10} \]
3. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием \( x^{-16} \cdot x^{13} = x^{-16+13} = x^{-3} \).
4. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{y^{10}}{y^8} = y^{10-8} = y^2 \).
5. Умножим коэффициенты: \( \frac{625 \cdot 625}{16} = \frac{390625}{16} \).
6. Соберём всё вместе: \[ \frac{390625}{16} x^{-3} y^2 \]
7. Запишем отрицательную степень как дробь: \[ \frac{390625}{16} \frac{1}{x^3} y^2 = \frac{390625 y^2}{16x^3} \]

Ответ: \( \frac{390625 y^2}{16x^3} \).