Упростите выражение: \(\frac{81b^2}{9b - a} + \frac{a^2}{a - 9b}\)

Решение:

Чтобы упростить выражение, приведём дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( a - 9b = -(9b - a) \).

1. Преобразуем вторую дробь: \( \frac{a^2}{a - 9b} = \frac{a^2}{-(9b - a)} = -\frac{a^2}{9b - a} \).
2. Теперь сложим дроби с общим знаменателем \( 9b - a \):
   \( \frac{81b^2}{9b - a} - \frac{a^2}{9b - a} \)
3. Выполним вычитание числителей: \( \frac{81b^2 - a^2}{9b - a} \).
4. Применим формулу разности квадратов \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \) к числителю: \( 81b^2 - a^2 = (9b)^2 - a^2 = (9b - a)(9b + a) \).
5. Подставим разложенный числитель обратно в дробь: \( \frac{(9b - a)(9b + a)}{9b - a} \).
6. Сократим дробь на \( (9b - a) \), если \( 9b - a \neq 0 \):
   \( 9b + a \)

Ответ: 9b + a.