Упростите выражение $$\frac{(a^3)^{-10}}{a^{-17} \cdot a^{-10}}$$ и найдите его значение при $$a = -\frac{1}{5}$$.

Решение:

• Упрощение выражения:
  Для начала упростим числитель: \( (a^3)^{-10} = a^{3 \times -10} = a^{-30} \).
  Теперь упростим знаменатель, используя свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \( a^{-17} \cdot a^{-10} = a^{-17 + (-10)} = a^{-27} \).
  Теперь разделим упрощенный числитель на знаменатель, используя свойство степеней \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \( \frac{a^{-30}}{a^{-27}} = a^{-30 - (-27)} = a^{-30 + 27} = a^{-3} \).
  Таким образом, упрощенное выражение равно \( a^{-3} \), что эквивалентно \( \frac{1}{a^3} \).
• Вычисление значения при $$a = -\frac{1}{5}$$:
  Подставим значение $$a = -\frac{1}{5}$$ в упрощенное выражение \( \frac{1}{a^3} \):
  \[ \frac{1}{\left(-\frac{1}{5}\right)^3} \]
  Вычислим куб отрицательной дроби: \( \left(-\frac{1}{5}\right)^3 = -\frac{1^3}{5^3} = -\frac{1}{125} \).
  Теперь подставим это значение обратно в выражение:
  \[ \frac{1}{-\frac{1}{125}} \]
  Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:
  \[ 1 \cdot \left(-\frac{125}{1}\right) = -125 \].

Ответ: Упрощенное выражение равно $$\frac{1}{a^3}$$, а его значение при $$a = -\frac{1}{5}$$ равно $$-125$$.