Упростите выражение: \(\frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}}\)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем отрицательные степени:
   \( ab^{-1} = \frac{a}{b} \), \( a^{-1}b = \frac{b}{a} \), \( a^{-1} = \frac{1}{a} \), \( b^{-1} = \frac{1}{b} \).
   Выражение примет вид: \(\frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}\).
2. Шаг 2: Приведем числитель к общему знаменателю \(ab\):
   \(\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab}\).
3. Шаг 3: Приведем знаменатель к общему знаменателю \(ab\):
   \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}\).
4. Шаг 4: Подставим обратно в исходное выражение:
   \(\frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{b - a}{ab}}\).
5. Шаг 5: Упростим дробь, умножив числитель на обратную величину знаменателя:
   \(\frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{b - a}\).
6. Шаг 6: Сократим \(ab\) и разложим числитель как разность квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
   \(\frac{(a-b)(a+b)}{b - a}\).
7. Шаг 7: Заметим, что \(b - a = -(a - b)\). Сократим \(a-b\):
   \(\frac{(a-b)(a+b)}{-(a - b)} = -(a+b)\).

Ответ: $$-(a+b)$$