Упростите выражение \( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \). Чему равен общий знаменатель дробей?

Решение:

Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:

\[ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})} \]

В числителе получим квадрат разности: \( (\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 2\sqrt{4 \cdot 3} = 8 - 2 \cdot 2\sqrt{3} = 8 - 4\sqrt{3} \).

В знаменателе получим разность квадратов: \( (\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4 \).

Таким образом, упрощенное выражение равно:

\[ \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = \frac{8}{4} - \frac{4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3} \]

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

\[ (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} \]

Общий знаменатель в исходной дроби равен \( \sqrt{6}+\sqrt{2} \).

Ответ: 7 - 4√3.