Упростите выражение: \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} + \frac{1}{\sqrt{a}-1} \)

Решение:

Чтобы упростить выражение, приведём дроби к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель для дробей \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \) и \( \frac{1}{\sqrt{a}-1} \) равен \( (\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1) \).
2. Первую дробь умножим на \( \sqrt{a}-1 \): \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)} = \frac{a - \sqrt{a}}{a-1} \]
3. Вторую дробь умножим на \( \sqrt{a}+1 \): \[ \frac{1}{\sqrt{a}-1} = \frac{1(\sqrt{a}+1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)} = \frac{\sqrt{a}+1}{a-1} \]
4. Сложим полученные дроби: \[ \frac{a - \sqrt{a}}{a-1} + \frac{\sqrt{a}+1}{a-1} = \frac{a - \sqrt{a} + \sqrt{a} + 1}{a-1} = \frac{a+1}{a-1} \]

Ответ: \( \frac{a+1}{a-1} \).