Упростите выражение \( \frac{x^2 - 4}{4x^2} - \frac{2x}{x+2} \) и найдите его значение при \( x = 4 \). В ответ запишите полученное число.

Решение:

Сначала упростим выражение:

\( \frac{x^2 - 4}{4x^2} - \frac{2x}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{4x^2} - \frac{2x}{x+2} \)

Приведём к общему знаменателю \( 4x^2(x+2) \):

\( = \frac{(x-2)(x+2)(x+2)}{4x^2(x+2)} - \frac{2x \cdot 4x^2}{4x^2(x+2)} \)

\( = \frac{(x^2-4)(x+2) - 8x^3}{4x^2(x+2)} \)

\( = \frac{x^3 + 2x^2 - 4x - 8 - 8x^3}{4x^2(x+2)} \)

\( = \frac{-7x^3 + 2x^2 - 4x - 8}{4x^2(x+2)} \)

Теперь подставим \( x = 4 \):

\( \frac{-7(4)^3 + 2(4)^2 - 4(4) - 8}{4(4)^2(4+2)} = \frac{-7(64) + 2(16) - 16 - 8}{4(16)(6)} \)

\( = \frac{-448 + 32 - 16 - 8}{64 \times 6} = \frac{-440}{384} \)

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

\( \frac{-55}{48} \)

Ответ: -55/48