Упростите выражение: (\(\frac{x^2}{x+y} - \frac{x^3}{x^2+y^2+2xy}\)) : (\(\frac{x}{x+y} + \frac{x^2}{y^2-x^2}\))

Решение:

1. Преобразуем первое выражение в скобках:
   • Приведём дроби к общему знаменателю \( (x+y)^2 \).
   • \( \frac{x^2}{x+y} = \frac{x^2(x+y)}{(x+y)^2} = \frac{x^3+x^2y}{(x+y)^2} \)
   • \( \frac{x^3}{x^2+y^2+2xy} = \frac{x^3}{(x+y)^2} \)
   • \( \frac{x^3+x^2y}{(x+y)^2} - \frac{x^3}{(x+y)^2} = \frac{x^2y}{(x+y)^2} \)
2. Преобразуем второе выражение в скобках:
   • Приведём дроби к общему знаменателю \( (y-x)(y+x) \).
   • \( \frac{x}{x+y} = \frac{x(y-x)}{(x+y)(y-x)} = \frac{xy-x^2}{y^2-x^2} \)
   • \( \frac{x^2}{y^2-x^2} \)
   • \( \frac{xy-x^2}{y^2-x^2} + \frac{x^2}{y^2-x^2} = \frac{xy-x^2+x^2}{y^2-x^2} = \frac{xy}{y^2-x^2} \)
3. Разделим первое выражение на второе:
   • \( \frac{x^2y}{(x+y)^2} : \frac{xy}{y^2-x^2} = \frac{x^2y}{(x+y)^2} \cdot \frac{y^2-x^2}{xy} \)
   • \( = \frac{xy}{(x+y)^2} \cdot \frac{(y-x)(y+x)}{1} \)
   • \( = \frac{xy(y-x)}{x+y} \)

Ответ: \(\frac{xy(y-x)}{x+y}\)