Упростите выражение и найдите его значение при a = 32, b = 12.

Решение:

1. Упростим выражение:
   \( \left( \frac{b}{a-b} - \frac{a}{a+b} \right) \cdot \frac{a^2-b^2}{2b^2} \)
2. Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
   \( \frac{b(a+b) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab+b^2 - a^2+ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab+b^2-a^2}{a^2-b^2} \)
3. Теперь умножим на вторую дробь:
   \( \frac{2ab+b^2-a^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{2b^2} \)
4. Сократим \( a^2-b^2 \):
   \( \frac{2ab+b^2-a^2}{2b^2} \)
5. Подставим значения \( a = 32 \) и \( b = 12 \):
   \( \frac{2 \cdot 32 \cdot 12 + 12^2 - 32^2}{2 \cdot 12^2} = \frac{768 + 144 - 1024}{2 \cdot 144} = \frac{912 - 1024}{288} = \frac{-112}{288} \)
6. Сократим дробь:
   \( \frac{-112}{288} = \frac{-112 \div 16}{288 \div 16} = \frac{-7}{18} \)

Ответ: -7/18