Упростите выражение и найдите его значение при x = 2 + 3√7, y = 2 – 3√7: (3x/(x-y) - 3y/(x+y)) : ((x^2 + y^2)/(x^2 - 2xy + y^2))

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках:

\( \frac{3x}{x-y} - \frac{3y}{x+y} = \frac{3x(x+y) - 3y(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{3x^2 + 3xy - 3xy + 3y^2}{x^2 - y^2} = \frac{3(x^2+y^2)}{x^2 - y^2} \)

Теперь упростим вторую часть выражения:

\( \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{x^2 + y^2}{(x-y)^2} \)

Разделим первое выражение на второе:

\( \frac{3(x^2+y^2)}{x^2 - y^2} : \frac{x^2 + y^2}{(x-y)^2} = \frac{3(x^2+y^2)}{x^2 - y^2} \cdot \frac{(x-y)^2}{x^2 + y^2} = \frac{3(x-y)^2}{x^2 - y^2} = \frac{3(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{3(x-y)}{x+y} \)

Теперь подставим значения \( x = 2 + 3\sqrt{7} \) и \( y = 2 - 3\sqrt{7} \):

\( x - y = (2 + 3\sqrt{7}) - (2 - 3\sqrt{7}) = 2 + 3\sqrt{7} - 2 + 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7} \)

\( x + y = (2 + 3\sqrt{7}) + (2 - 3\sqrt{7}) = 2 + 3\sqrt{7} + 2 - 3\sqrt{7} = 4 \)

Подставим найденные значения в упрощённое выражение:

\( \frac{3(x-y)}{x+y} = \frac{3(6\sqrt{7})}{4} = \frac{18\sqrt{7}}{4} = \frac{9\sqrt{7}}{2} \)

Ответ: \( \frac{9\sqrt{7}}{2} \).